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gibt es Mathefreaks unter euch ?

Dieses Thema im Forum "Kaffeeklatsch" wurde erstellt von anko, 24. September 2005.

  1. anko

    anko Neues Mitglied

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    Hallo,

    wir haben hier so ein paar Matheaufgaben, für die jakko eigentlich 6 Wochen Zeit hatte, die er aber vergessen hat und die am Montag, den 25.09 in der Schule gelöst sein sollen.
    Nun habe ich aber auch Probleme diese Aufgaben in dieser kurzen Zeit zu lösen. Aber vielleicht gibts ja unter euch Mathefreaks die uns helfen können.

    Hier nun die Aufgaben:

    1. Aus der Menge M der natürlichen Zahlen von 1 bis120 wählt man 13 zahlen, welche paarweise verschieden sind, aus.
    a) zeige: Unter den gewählten Zahlen befinden sich mindestens zwei, die sich um höchstens 9 unterscheiden.
    b) zeige: unter den gewählten Zahlen befinden sich mindestens zwei, deren Differenz ein Vielfaches von 10 ist
    c) Kann man bei b) mit weniger als 13 auszuwählenden Zahlen auskommen?

    Unser Problem bei dieser Aufgabe ist schon, dass wir "paarweise verschieden" nicht definieren können. Wenn jemand hierzu gute Ideen hat, ruhig her damit. Lieber auch falsche, als gar keine. Ausschließen kriegen wir dann schon wieder hin. Aber uns fehlen hier schon die Ideen.

    2. Es seien x,y, reele Zahlen mit y >= 0 und y*(y+1) <= (x+1)hoch2. Zeige das dannn y*(y-1) <= x hoch2 gilt.

    (Man kein hier leider keine Formeln eintragen, dann würde sich die Formel besser lesen lassen.

    3. die Felder eines Quadrates aus 4x4 Teilquadraten sollen mit je einer von 4 Farben eingefärbt werden. Die Färbung soll so erfolgen, dass bei Drehung des Quadrats um 90, 180 und 170 Grad um den Quadratmittelpunkt je zwei Felder gleicher Farbe auf zwei Felder gleicher Farbe abgebildet werden; letztgenannte Farbe soll aber von der erstgeannten verschieden sein.
    Wie viele Möglichkeiten gibt es?
    Möglichkeiten, die durch Drehung auseinander hervorgehen, sollen nicht als verschieden gelten.

    Habt ihr ein paar Gute Ideen? Es müssen noch keine fertigen Lösungen sein (haben wir aber auch nichts gegen). Aber jeder Gedankengang kann einen auf die richtige Lösung bringen.

    Einge knobelige Nacht (und natürlich gute Ergebnisse) wünscht euch

    anko
     
  2. Angie Mecklenburg

    Angie Mecklenburg Neues Mitglied

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    Hallo,

    welche Klassenstufe ist denn das?

    Wüsste es auch nicht evtl meine Tochter! Schaue gegen Mittag noch mal rein.

    Lg Angie :D
     
  3. Marie2

    Marie2 nobody is perfect ;)

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    hi,

    "paarweise verschieden"
    bedeutet nix anderes als:
    .....dass keine 2 von ihnen gleich sein dürfen.

    macht jakko bei der mathe-olympiade mit?
    hier ist eine meiner lieblingsseiten:
    http://www.matheraum.de/


    für alles andere bin ich jetzt zu müde,
    gute nacht marie
     
  4. anko

    anko Neues Mitglied

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    Hallo Angie,
    das sind die Aufgaben für die Klasse 9. Sind aber nicht ohne, finde ich. Vielleicht hat deine Tochter ja ein paar Ideen, ich weiß ja nicht in welche Klasse sie geht.

    Und hallo Marie,
    vielen Dank. Das hilft uns dann schon mal viel weiter. Den Link werde ich für Jascha in seine Lesezeichen eintragen. Findet er bestimmt klasse. Und ich auch :)

    Gruß

    anko
     
  5. Marie2

    Marie2 nobody is perfect ;)

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  6. root

    root Neues Mitglied

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    Lösungsidee

    Sende dir eine Idee (kein vollständiger Beweis) zu (vgl. Anhang)

    Gruß root
     
    #6 25. September 2005
    Zuletzt bearbeitet: 28. April 2007
  7. VerenaS

    VerenaS Registrierter Benutzer

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    Hi!

    Ich hoffe du siehst meine Antwort noch heute abend. Deshalb schreibe ich jetzt erst mal die Lösung von Aufgabe 1. Ich denke, dass ich die anderen auch noch schaffe ;-)
    1.a) Es sind Zahlen mit großem Abstand gesucht. Also ist es ratsam, die 1 zu wählen. Bleiben 12 Zahlen zu wählen und 119 Zahlen der Menge. Diese 119 teile ich durch 12. Warum? Weil ich dann 12 gleiche Abstände von der 1 bekomme. (Vgl Knopflöcher an einer Bluse: 7 Knöpfe und 6 Anstände)Dummerweise (oder zum Glück bei der Aufgabenstellung) kommt bei der Rechnung 9,91666666... raus. Also sind die 13 Zahlen im Mittel weniger als 10 Zahlen voneinander entfernt. Daraus folgt, dass es minderstens 2 Zahlen geben muss, die weniger als 10 (sprich maximal 9) voneinanderentferrnt sind.
    1.b) Wenn die Differenz zweier Zahleng leich zehn ist, dann ist das gleichbedeutend damit, dass die letzte Ziffer gleich ist. Man kann also die Zahlen 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 wählen. Danach wird's schwierig ;-) Er gibt keine weiteren Zahlen, die die geforderte Bedingung erfüllen.
    1.c) Aus der Begründung für 1.b) folgt auch direkt, dass man schon keine 11 Zahlen finden kann sondern nur 10.
    Der Rest kommt vielleicht gleich nach. Muss die Aufgabenstellung erst mal lesen ;-)
    Falls ihr noch Fragen habt, dann meldet euch.
    Gruß Verena
     
  8. VerenaS

    VerenaS Registrierter Benutzer

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    Hi!
    Ich weiß nicht, was das mit der ersten und letzten Farbe soll. Auch nicht, ob bei jeder Drehung alle Felder auf Felder der gleichen Farbe abgebildet werden sollen....

    Also meine "Lösung" ohne Berücksichtigung der ersten und letzten Farbe und dass alle Felder auf Felder gleicher Farbe abgebildet werden. Die Felder habe ich folgendermaßen durchnummeriert:
    1 2 3 4
    5 6 7 8
    9 10 11 12
    13 14 15 16
    Durch die ganzen Drehungen müssen die Felder mit den gleichen Zahlen jeweils die gleiche Farbe haben:
    1 2 3 1
    3 4 4 2
    2 4 4 3
    1 3 2 1
    Für die Farbe 1 gibt es 4 Möglichkeiten. Genauso für Farbe 2. Also gibt es bis hierhin 4*4 = 16 Möglichkeiten. Z.B rot-rot, rot-gelb, rot-grün, rot-blau, gelb-rot, gelb-gelb,... Klar bis hier hin? Jetzt gibt es für Farbe 3 und 4 aber jeweils auch 4 Möglichkeiten. Also insgesamt 4*4*4*4 = 256 Möglichkeiten.

    Wenn man jetzt mal annimmt, dass die erste Farbe die auf Feld 1 und die letzte die auf Fels 16 sein soll, so gibt es keine Lösung, weil Feld 1 mit einer 180°-Drehung auf Feld 16 abgebildet wird.

    Ich hoffe, dass ich die Aufgabenstellung richtig verstanden hab.

    Gruß
    VerenaS
     
  9. VerenaS

    VerenaS Registrierter Benutzer

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    Hallo ihr drei Gäste auf dieser Seite!
    Ihr seid nicht zufällig auch in der Klasse und habt die Aufgabenstellung vorliegen. Ich hätte ne Frage zur zweiten Aufgabe!
    Am Besten ihr meldet euch kurz über ICQ. Die Nummer findet ihr wenn ihr auf meinen Namen klickt.
    Gruß VerenaS
     
  10. anko

    anko Neues Mitglied

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    Hallo Root, hallo Verena,

    vielen, vielen Dank für eure Bemühungen und Lösungsvorschläge.
    @ Root, deine haben wir gerade ausgedruckt und gucken nun, was wir daraus machen können. Es muss doch irgendeine Lösung geben.

    @ Verena, deine Lösung zu Aufgabe 1 a haben wir so ähnlich heute abend auch rausgefunden. Zu b haben wir auch eine Lösung gefunden.
    Das mit den Quadraten haben wir noch nicht lösen können. Deine Annahme ist hier glaube ich etwas falsch. Wir haben aber auch lange gebraucht, bis wir zumindest so weit gekommen sind. Wenn z.B. an der Stelle 1 und 2, sowie 4 und 8 vorher jeweils 2 gleiche Farben waren, (z.B. 1und2 rot, 4 und 8 blau). dann muss nach der Drehung um 90° auf den Feldern 4 und 8 nun die roten liegen. Weiter sind wir hier aber auch noch nicht gekommen. Zumal es ja auch eine rechnerische Lösung hierzu geben muss :(

    Wir werden mal sehen, was wir vor dem Einschlafen noch schaffen

    Nochmals vielen Dank

    Gruß
    anko
     
  11. Angie Mecklenburg

    Angie Mecklenburg Neues Mitglied

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    Hallo,
    meine Tochter geht in die 8. Klasse. Hätte es gerne versucht, aber sie liegt mit hohen Fieber im Bett schon seit gestern. Sorry.
    Alles liebe Angie


     
  12. ibe

    ibe Guest

    Hallo anko,

    habt ihr Lösungen gefunden? Das hättest ja früher reinbringen können ;) . Das war ja sicher für euch stressig. Solche Zeiten habe ich mit meinen Sohn auch oft gehabt. Das war ganz schön nervenraubend. Ich hoffe, ihr habt das noch gepackt.


    Schönen Wochenanfang wünscht euch ibe
     
  13. Sabrina12682

    Sabrina12682 Ich sage was ich denke.

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    hallo zusammen,

    mein gott ich habe gerade gelesen was für aufgaben es in der 9. klasse gibt und bin fast umgefallen.

    solche schwierigen aufgaben haben wir nicht gehabt.

    wenn ihr die richtigen lösungen habt meldet euch doch mal, würde mich brennend interressieren.

    lieben gruß bine